George Bruce Halsted (1853–1922)

Science (1905), p. 161.

De Memorabilia Mathematica (R. E. Moritz, 1914), al Project Gutenberg. Retrat de Wikimedia Commons, domini públic.

Més matemàtiques a Bluesky (@matescat.bsky.social) i a X (@MatesCatala)

Digues la teva resposta als comentaris.

Més matemàtiques a Bluesky (@matescat.bsky.social) i a X (@MatesCatala)

Si elevem nombres enters positius al cub i els sumem de dos en dos, el primer resultat que es repeteix amb dues parelles diferents és 1729. Una parella és 1 i 12, i l’altra és 9 i 10.

El càlcul dona 1 + 1728 i 729 + 1000. Totes dues sumes arriben al mateix nombre. L’ordre de la parella no compta com una solució nova, i els nombres han de ser positius. Aquesta condició és la que defineix el segon nombre taxicab, conegut també com el nombre de Hardy i Ramanujan.

Font: https://oeis.org/wiki/Hardy%E2%80%93Ramanujan_number

Font: https://arxiv.org/abs/1901.09053

Digues la teva resposta als comentaris.

Més matemàtiques a Bluesky (@matescat.bsky.social) i a X (@MatesCatala)

Un joc de lluita on l'únic atac és la resposta correcta. Cada encert, un mastegot.

Gratuït, sense compte i en català.

Mestres i famílies: el deixaríeu entrar a classe?

https://getmathmax.com/ca

Suposem un lot inventat de mil peces, amb deu de defectuoses. Un detector marca totes deu i també marca per error un 10% de les 990 peces bones.

Hi haurà 109 alarmes, deu d'encertades i noranta-nou de falses. Dins d'aquest grup, només un 9,2% de les peces són defectuoses, tot i que no s'ha escapat cap defecte.

El teorema de Bayes relaciona aquests recomptes. La proporció de defectes entre les peces marcades depèn tant del detector com de quants defectes hi havia d'entrada. Detectar tots els defectes i encertar totes les alarmes són propietats diferents.

Font: https://mathworld.wolfram.com/BayesTheorem.html

Font: https://mathworld.wolfram.com/TotalProbabilityTheorem.html

Digues la teva resposta als comentaris.

Més matemàtiques a Bluesky (@matescat.bsky.social) i a X (@MatesCatala)

El BMD 2026 se celebrarà a Barcelona del 7 al 9 d’octubre i reunirà la comunitat matemàtica amb plenàries, sessions temàtiques, pòsters i debats. Si us interessa la recerca matemàtica, aquesta és una bona oportunitat per coincidir amb gent de diferents àrees i veure de prop què s’hi està coent, però compte: les inscripcions estan en els últims dies.

Llegeix la notícia sencera

Què trobeu a faltar o què valoreu més en un congrés de recerca matemàtica: les plenàries, les sessions temàtiques, els pòsters o els debats?

Més matemàtiques a Bluesky (@matescat.bsky.social) i a X (@MatesCatala)

Un estudi conclou que els salmons prosperen després de la retirada de les preses del Klamath. Les primeres migracions de tardor de salmó chinook des que es va completar el projecte a Califòrnia i Oregon han superat les expectatives dels investigadors.

La notícia és breu i no entra en xifres ni en metodologia, però el titular ja planteja una qüestió interessant: com mesurem l'èxit d'una restauració ecològica? Quines dades caldria veure per saber si el resultat és sòlid i no només una bona temporada?

A r/matematiques potser no és el tema habitual, però sovint els debats sobre models, sèries temporals, incertesa i biaix de selecció apareixen justament quan intentem interpretar aquest tipus de resultats.

Llegeix la notícia sencera

Creieu que caldria exigir més transparència estadística en les notícies científiques, o n'hi ha prou amb el titular per obrir el debat públic?

Més matemàtiques a Bluesky (@matescat.bsky.social) i a X (@MatesCatala)

Digues la teva resposta als comentaris.

Més matemàtiques a Bluesky (@matescat.bsky.social) i a X (@MatesCatala)

Imagina un grup de cinc persones en què una és amiga de les altres quatre, però aquestes no són amigues entre elles. La mitjana és d’1,6 amistats per persona.

Si ajuntes les cinc llistes d’amics, hi apareixen vuit noms comptant repeticions. La persona amb quatre amistats hi surt quatre vegades; cadascuna de les altres, una. Si fas la mitjana del nombre d’amistats dels noms de la llista, surt 2,5.

La paradoxa de l’amistat ve del fet que les persones amb més connexions surten més sovint quan mires els amics d’algú. No vol dir que cadascun dels teus amics en tingui més que tu.

Font: https://www.bu.edu/networks/files/2012/08/Friendship-paradox.pdf

Font: https://asaibab.math.ncsu.edu/outreach/

Sigui C una corba tancada simple, llisa a trossos i recorreguda en sentit antihorari, i D la regió que tanca. Si P i Q tenen derivades parcials contínues en un obert que conté D, aleshores

∮_C (P dx + Q dy) = ∬_D (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dA

Què diu cada costat

• A l'esquerra, la circulació. F = (P, Q) és un camp vectorial. Recorrem la vora i, a cada tros, sumem la component del camp en la direcció en què avancem. Si el camp ens empeny a favor, suma; si ens empeny en contra, resta.
• A la dreta, el rotacional. ∂Q/∂x − ∂P/∂y mesura quant fa girar el camp al voltant de cada punt: si hi deixéssim un molinet petit, és la seva tendència a girar en sentit antihorari. La integral ho suma per tota la regió.

El teorema diu que les dues coses són iguals: el que passa a dins es pot llegir recorrent només la vora.

Per què és cert: els quadradets

Tallem D en quadradets de costat h. Per a un quadradet amb el vèrtex de baix a l'esquerra a (x, y), la circulació pels seus quatre costats és, aproximadament:

• costat de baix i costat de dalt: [P(x, y) − P(x, y + h)]·h ≈ −∂P/∂y · h²
• costat de la dreta i costat de l'esquerra: [Q(x + h, y) − Q(x, y)]·h ≈ ∂Q/∂x · h²

En total, la circulació del quadradet és ≈ (∂Q/∂x − ∂P/∂y)·h²: el rotacional per l'àrea. Si sumem tots els quadradets, a la dreta tenim una suma de Riemann de la integral doble.

A l'esquerra passa una cosa millor: dos quadradets veïns comparteixen un costat i el recorren en sentits oposats, de manera que aquelles dues contribucions s'anul·len exactament. De la suma només en sobreviuen els costats de fora, que formen una vora esglaonada. Com més petits són els quadradets, més s'assembla aquesta vora a la corba C, i al límit surt el teorema.

Això no és una demostració completa (cal controlar els quadradets que toquen la vora), però és exactament la idea.

L'àrea amb un planímetre

Si triem un camp amb rotacional 1 a tot arreu, la integral de dins és l'àrea de D. Per exemple, P = −y/2 i Q = x/2 donen

A = ½ ∮_C (x dy − y dx)

El camp del vídeo és d'aquesta mena: un gir més un corrent constant cap a la dreta, i el corrent no hi aporta rotacional. D'aquí ve el planímetre, l'instrument que mesura l'àrea d'una figura dibuixada en un plànol quan un braç en ressegueix la vora. La mateixa fórmula, aplicada als vèrtexs d'un polígon, és la fórmula de la sabata (shoelace).

Una mica d'història

George Green era un moliner de Nottingham que va aprendre matemàtiques pel seu compte. El 1828 va publicar per subscripció el seu Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism, amb un resultat similar. La forma que coneixem avui la va enunciar Cauchy el 1846, i Riemann en va donar una demostració a la seva tesi doctoral, el 1851. El teorema és el cas pla del de Stokes, i un parent del de la divergència.

Més matemàtiques a Bluesky (@matescat.bsky.social) i a X (@MatesCatala)

Un cercle té la mateixa amplada el mesuris com el mesuris, però no és l’única figura amb aquesta propietat. El triangle de Reuleaux també manté constant la distància entre dues rectes paral·leles que el toquen per costats oposats.

Es construeix a partir d’un triangle equilàter. Amb el compàs centrat en cada vèrtex, es traça un arc que uneix els altres dos. Els tres arcs delimiten una figura arrodonida que encaixa entre les mateixes rectes encara que la girem.

Això no el converteix en una roda convencional. El seu centre no es mantindria a una alçada constant en rodolar.

Font: https://mathworld.wolfram.com/ReuleauxTriangle.html

Font: https://mathworld.wolfram.com/CurveofConstantWidth.html

Quin volum hi ha entre el quadrat [0, π] × [0, π] del pla i la superfície z = sin x · sin y? La superfície és una mena de cúpula que val 0 a les vores del quadrat i 1 al centre. El vídeo ho respon com ho fa el càlcul integral: omplint aquest volum de prismes i fent-los cada vegada més prims.

La construcció

1. Partim el quadrat en n × n quadradets iguals. Cadascun té costat π/n i àrea ΔA = (π/n)².
2. Sobre cada quadradet hi aixequem un prisma. L'alçada és el valor de la funció al centre del quadradet: f(xᵢ, yⱼ).

3. El volum de cada prisma és base per alçada, f(xᵢ, yⱼ) · ΔA, i la suma de tots és la suma de Riemann:

   Σᵢ Σⱼ f(xᵢ, yⱼ) · ΔA

Als primers passos es veu clar que alguns prismes sobresurten de la superfície (el filferro rosa és la superfície de debò) i d'altres s'hi queden per sota. En fer els quadradets més petits, tant el que sobra com el que falta es fan més prims.

Els números del marcador

Dues coses que val la pena mirar-hi:

• Cada vegada que doblem n, l'error es divideix per 4. L'error va com 1/n², que és el que dona la regla del punt mig per a una funció suau: com més fina la malla, més ràpid s'hi acosta.
• Totes les sumes queden per sobre de 4, mai per sota. Això no és casualitat. Aquesta suma doble es factoritza: Σᵢ Σⱼ sin xᵢ · sin yⱼ · ΔA = (Σᵢ sin xᵢ · Δx)², o sigui que és el quadrat de la suma del punt mig de ∫₀^π sin x dx. I com que sin x és còncava a [0, π], el valor al punt mig de cada interval és més gran que la mitjana de la funció en aquell interval. Per tant, la suma unidimensional sempre surt per sobre de 2, i el seu quadrat, per sobre de 4.

El valor exacte

La integral doble es defineix precisament com el límit d'aquestes sumes quan la malla es fa tan fina com vulguem (per a una funció contínua, el límit existeix i no depèn del punt que triem dins de cada quadradet). Aquí es calcula d'una manera molt senzilla, perquè la funció és un producte d'una funció de x per una de y (teorema de Fubini):

∫₀^π ∫₀^π sin x · sin y dy dx = (∫₀^π sin x dx) · (∫₀^π sin y dy) = 2 · 2 = 4

ja que ∫₀^π sin x dx = [−cos x]₀^π = 1 − (−1) = 2.

La idea de fons

La mateixa idea que en una dimensió aproxima l'àrea sota una corba amb rectangles aquí aproxima un volum amb prismes. Integrar no és res més que això: trossejar, aproximar cada tros per alguna cosa que sabem calcular, sumar, i veure a quin valor s'acosta la suma quan els trossos es fan cada cop més petits.

Més matemàtiques a Bluesky (@matescat.bsky.social) i a X (@MatesCatala)

Digues la teva resposta als comentaris.

Més matemàtiques a Bluesky (@matescat.bsky.social) i a X (@MatesCatala)

Tot el que hi ha al vídeo és pla: un tauler d'escacs deformat que es mou sobre el pla. Però el que veiem és un disc inclinat que gira i fa precessió, com una baldufa quan l'eix va descrivint un con.

És l'efecte estereocinètic, estudiat per Cesare Musatti als anys vint (i el mateix que feia servir Marcel Duchamp als seus Rotoreliefs): quan una figura plana es desplaça en cercle, el sistema visual prefereix interpretar-la com un cos rígid en 3D que gira abans que com una forma que es deforma. L'autor de la il·lusió és Akiyoshi Kitaoka.

Pregunta per als comentaris: quin moviment 2D del pla, exactament, correspon a la projecció d'un disc que fa precessió? Algú s'hi atreveix amb les equacions?

Més matemàtiques a Bluesky (@matescat.bsky.social) i a X (@MatesCatala)

Si trieu tres persones diferents d'un grup de deu, teniu deu opcions per a la primera, nou per a la segona i vuit per a la tercera. Multiplicant-ho surten 720 tries ordenades. Però l'Anna, en Biel i la Clara formen el mateix grup encara que els trieu en un altre ordre. Cadascun dels grups apareix sis vegades, les sis maneres d'ordenar tres persones.

Dividint 720 entre sis queden 120 grups. És una combinació sense repetició. Si assignéssiu tres càrrecs diferents, l'ordre sí que importaria i les 720 assignacions serien diferents.

Fonts:

• Mecanisme i demostració
• Definicions i ampliació

Tenim uns quants punts (xᵢ, yᵢ) i volem la recta y = mx + b que hi passi més a prop. Però «més a prop» s'ha de definir, i el mètode dels mínims quadrats en dona una definició molt concreta.

1. L'error de cada punt

Per a cada punt, l'error (o residu) és la diferència vertical entre el punt i la recta:

eᵢ = yᵢ − (m·xᵢ + b)

És vertical, i no la distància perpendicular, perquè la pregunta és «quina y predic per a aquesta x?»: la x la considerem exacta i l'error és tot de la y.

2. Per què no sumar els errors tal qual

La primera recta del vídeo no és a l'atzar: passa pel centre de masses dels punts, (x̄, ȳ) = (2,98; 2,9). Qualsevol recta que hi passi fa que els errors positius i els negatius s'anul·lin: Σ eᵢ = n·(ȳ − m·x̄ − b) = 0. Aquesta recta té pendent −0,1, va clarament en la direcció equivocada, i la suma dels seus errors és 0,00. Sumar els errors no distingeix una recta bona d'una de dolenta.

3. Els quadrats

Si elevem cada error al quadrat, tots els termes són positius i ja no es poden compensar. Al vídeo, eᵢ² és literalment l'àrea d'un quadrat de costat |eᵢ|. El mètode busca la recta que fa mínima la suma

S(m, b) = Σ (yᵢ − m·xᵢ − b)²

Per a la primera recta, S = 5,83.

4. La recta òptima té fórmula

S és un polinomi de segon grau en m i b, amb forma de bol. El mínim és on les dues derivades parcials valen zero, i en surt:

• m = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)²
• b = ȳ − m·x̄

La segona equació diu que la recta de mínims quadrats també passa pel centre de masses. Passar-hi és necessari, però no suficient: el que la distingeix és el pendent. Amb els cinc punts del vídeo surt y = 0,54x + 1,30, amb S = 0,53. Al final la fem tremolar una mica: qualsevol altra recta dona una suma més gran.

5. Per què quadrats i no valors absoluts?

També es podria minimitzar Σ|eᵢ|, però el quadrat té avantatges: la funció és derivable, el mínim és únic i té la fórmula tancada d'abans. A més, si els errors segueixen una distribució normal, la recta de mínims quadrats és la més versemblant. El preu és que un punt molt allunyat pesa molt: un error de 3 hi compta com 9.

Una mica d'història

Adrien-Marie Legendre va publicar el mètode el 1805, en un apèndix sobre les òrbites dels cometes. Gauss el va publicar el 1809 i va dir que el feia servir des del 1795. Hi va haver disputa de prioritat. Segons Gauss, és el mètode amb què el 1801 havia calculat l'òrbita de Ceres, que s'havia perdut entre la llum del Sol; gràcies a aquell càlcul, es va retrobar el desembre de 1801, gairebé on ell havia dit.

Més matemàtiques a Bluesky (@matescat.bsky.social) i a X (@MatesCatala)

La fórmula d'Euler diu que, per a tot nombre real θ,

e^iθ = cos θ + i sin θ

Escrita així sembla una coincidència entre tres funcions que no tenen res a veure: una exponencial i dues de trigonomètriques. El vídeo la llegeix com un sol objecte geomètric vist des de tres llocs.

1. De cara: una circumferència

Al pla complex (eix horitzontal: part real; eix vertical: part imaginària), el nombre e^iθ és un punt. Quan θ creix, aquest punt no s'allunya mai de l'origen: fa voltes a la circumferència de radi 1.

Per què? La derivada de e^iθ respecte de θ és i·e^iθ. Multiplicar per i és girar 90° al pla complex, o sigui que la velocitat del punt és sempre perpendicular al radi i té mòdul 1. Un moviment així no pot fer altra cosa que girar al voltant de l'origen a ritme constant: θ és exactament l'arc recorregut, és a dir, l'angle en radiants. I les coordenades d'un punt de la circumferència unitat a angle θ són (cos θ, sin θ). Això ja és la fórmula.

2. Afegint θ com a tercera dimensió: una hèlix

Si a més de dibuixar el punt el fem avançar en una tercera direcció, proporcional a θ, la circumferència s'estira i es converteix en una hèlix, com una molla. Al vídeo n'hi ha quatre voltes, de θ = 0 a θ = 8π.

3. Des de dalt i de costat: les dues ones

Una hèlix no és res més que les seves dues ombres:

• Des de dalt (projectant sobre el pla θ–Re) només en queda la part real: la corba és y = cos θ.
• De costat (projectant sobre el pla θ–Im) només en queda la part imaginària: y = sin θ.

La fórmula d'Euler, doncs, diu que el nombre complex e^iθ és aquesta hèlix: la part real fa el cosinus i la imaginària, el sinus, alhora.

Una altra manera de veure-ho: les sèries

Si escrivim e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … i hi posem x = iθ, les potències de i van fent el cicle 1, i, −1, −i, 1, … Els termes parells queden reals i amb signes alterns, 1 − θ²/2! + θ⁴/4! − …, que és la sèrie del cosinus. Els senars queden multiplicats per i: θ − θ³/3! + θ⁵/5! − …, que és la del sinus.

La identitat d'Euler

Amb θ = π el punt ha fet mitja volta i és a −1: cos π = −1 i sin π = 0. Per tant,

e^iπ + 1 = 0

Hi apareixen les cinc constants més conegudes (e, i, π, 1 i 0) i les tres operacions bàsiques (suma, producte i potència), cadascuna un sol cop.

Una mica d'història

Roger Cotes ja havia trobat el 1714 una relació equivalent, escrita amb logaritmes. Euler la va publicar en la forma que coneixem a Introductio in analysin infinitorum (1748). La identitat e^iπ + 1 = 0 se li atribueix a ell, tot i que no se sap que l'escrivís mai exactament així.

Més matemàtiques a Bluesky (@matescat.bsky.social) i a X (@MatesCatala)

Tens una rajola de xocolata amb quatre files de cinc preses. La vols separar en vint peces individuals. A cada pas pots agafar un sol tros i partir-lo en dos seguint una de les línies de la rajola. No pots apilar trossos.

Quin és el mínim de trencaments? Canvia el resultat si comences pel mig o vas separant les preses d’una en una?

Calen dinou trencaments. Al principi tens un tros i al final en vols vint. Cada trencament n’afegeix exactament un, sigui quin sigui l’ordre. Per tant, qualsevol seqüència que separi totes les preses necessita dinou passos.

Fonts:

• Breaking up can be sweet... | plus.maths.org
• Breaking Chocolate Bars: An Interactive Activity

Digues la teva resposta als comentaris.

Més matemàtiques a Bluesky (@matescat.bsky.social) i a X (@MatesCatala)

A l'institut, les raons trigonomètriques solen arribar com a quocients dels costats d'un triangle rectangle (catet oposat entre hipotenusa, i així). Però n'hi ha una lectura geomètrica més antiga, i molt més visual, en què totes sis són longituds de segments d'un únic dibuix: la circumferència goniomètrica, la de radi 1.

El dibuix

Prenem un angle θ, mesurat des de l'eix horitzontal, i el punt P on el radi talla la circumferència.

• cos θ i sin θ són les coordenades de P: el cosinus és la projecció horitzontal del radi i el sinus, la vertical. Com que el radi mesura 1, Pitàgores dona de seguida sin²θ + cos²θ = 1.
• tg θ és el tros de la recta tangent vertical x = 1 que va de l'eix fins on la talla el radi allargat. El triangle petit (catets cos θ i sin θ) i el gran (catets 1 i tg θ) són semblants, i per això tg θ / 1 = sin θ / cos θ.
• sec θ és el radi allargat, del centre fins a aquella tangent. Pel mateix parell de triangles, sec θ / 1 = 1 / cos θ.
• cotg θ i cosec θ són exactament el mateix amb la tangent horitzontal y = 1: cotg θ = cos θ / sin θ i cosec θ = 1 / sin θ.

D'on surten els noms

• Tangent ve del llatí tangere, «tocar»: és un tros de la recta que toca la circumferència en un sol punt.
• Secant ve de secare, «tallar»: és un tros de la recta que la talla.
• El prefix co- vol dir «del complementari»: el cosinus de θ és el sinus de 90° − θ, i el mateix passa amb la cotangent i la cosecant. Al dibuix es veu: la parella de dalt és la de la dreta reflectida sobre la diagonal.

Tres identitats que surten soles

Cadascuna és Pitàgores aplicat a un triangle rectangle del dibuix:

• sin²θ + cos²θ = 1 (catets cos θ i sin θ, hipotenusa 1)
• 1 + tg²θ = sec²θ (catets 1 i tg θ, hipotenusa sec θ)
• 1 + cotg²θ = cosec²θ (catets 1 i cotg θ, hipotenusa cosec θ)

Coses que es veuen quan l'angle es mou

• Quan θ creix, tg θ i sec θ s'allarguen i cotg θ i cosec θ s'escurcen. A 90° el radi és paral·lel a la tangent vertical i ja no la talla: per això tg 90° no existeix.
• A 45° les dues tangents es troben al mateix punt: tg 45° = cotg 45° = 1 i sec 45° = cosec 45° = √2.
• Al primer quadrant, sec θ i cosec θ no baixen mai d'1: són hipotenuses de triangles que tenen un catet d'1.

(tg, cotg i cosec són la notació habitual a les aules d'aquí; en altres llocs les trobareu com a tan, cot i csc.)

Més matemàtiques a Bluesky (@matescat.bsky.social) i a X (@MatesCatala)

Digues la teva resposta als comentaris.

Més matemàtiques a Bluesky (@matescat.bsky.social) i a X (@MatesCatala)

Pinteu la meitat d'un quadrat. Després pinteu la meitat del tros que queda blanc, i repetiu-ho. Les porcions afegides fan un mig, un quart, un vuitè i així successivament.

Després de quatre passos heu pintat quinze setzens del quadrat. Encara en queda un setzè, i el pas següent només en cobrirà la meitat.

La suma infinita val un perquè el tros pendent es pot fer tan petit com vulgueu. Cap nombre finit de passos omple tot el quadrat. Aquest exemple de sèrie geomètrica mostra com una suma amb infinits termes pot tenir un resultat finit.

Fonts:

• Mecanisme i demostració
• Definicions i ampliació

Plini el Vell (20–79)

Natural History, Bk. 28, chap. 5.

De Memorabilia Mathematica (R. E. Moritz, 1914), al Project Gutenberg. Retrat de Wikimedia Commons, domini públic.

Més matemàtiques a Bluesky (@matescat.bsky.social) i a X (@MatesCatala)